RELACIONES FUNCIONALES

TIPOS DE RELACIONES

Las relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya descriptas, expuestas en clases anteriores

Las relaciones más usuales en matemática son:

Las relaciones de equivalencia

Las relaciones de orden

Las relaciones funcionales o aplicaciones.

Relaciones funcionales

Definición:   Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es una función o aplicación de A en B si y sólo si, verifica las siguientes condiciones:

1º) Condición de Existencia:
 

2º) Condición de Unicidad:
        

Las Funciones

Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interpretar situaciones provenientes de la Matemática misma y de otras ciencias

Preguntas Frecuentes

Las preguntas que podríamos hacernos al abordar este concepto podrían ser, entre otras, las siguientes:

·         ¿Qué tipos de funciones son las más usuales?

·         ¿Para qué valores de la variable independiente resulta que la variable dependiente va creciendo o decreciendo...?

·         ¿Cómo es el crecimiento de la función rápido, lento, ...? ¿Cómo medir el crecimiento’

·         ¿Qué representación se les puede dar para hacernos una mejor idea de sus características y de su significado?

Veamos algunos casos y sus diferentes representaciones

Representación algebraica

La física ha adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída libre de los cuerpos a través de la fórmula:

h(t) = h₀ + v₀ . t – ½ g t²

Donde h0 y v0 son parámetros: el primero representa la altura desde donde es lanzado un cuerpo, y el segundo, la velocidad con la que el cuerpo es arrojado; g es una constante que representa la aceleración de la gravedad

Representación gráfica 

    Representación algorítmica

Se trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor de t, el único valor de h que le corresponde.

Si h₀ = 80m ;  v₀ = 0, porque la piedra se deja caer a partir del reposo, y ½ . g » 5

  ⇒ la expresión algebraica buscada será:

   h(t) = 80 – 5 . t²

Relaciones entre variables

Para describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es necesario encontrar una ley que asigne a cada valor de x ( variable independiente), un único valor de y (variable dependiente).

En la situación de caída libre -de la piedra- t es la variable independiente, h es la variable dependiente, y la fórmula h(t) = 80 – 5t² es la ley o propiedad que asigna a cada valor de t un único valor de h.

Más definiciones

Una función f queda determinada por:

·         Un conjunto A llamado dominio.

·         Un conjunto B llamado codominio.

·         Una ley que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento de B.

   Veamos esto gráficamente: Dominio y codominio

 

Análisis de los conceptos

Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no numéricos, y abarca tanto la ley de correspondencia como los conjuntos en los que toman sus valores las variables.

De acuerdo con esta definición, dos funciones son iguales si coinciden su dominio, su codominio y la ley de correspondencia que relaciona los elementos de ambos conjuntos

El Dominio

El dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la variable independiente x y se simboliza Dom(f)

En la situación 1, de la piedra, el dominio de la función es el intervalo [0 ; 4]

El Codominio

El codominio de una función f es un conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la función.

Las funciones estudiadas, en este curso, tendrán como dominio al conjunto de los números R o a un subconjunto del mismo, y  como codominio igual a R.

Imagen de una función

·         Cada elemento y está asociado a un elemento x del dominio de f, se llama imagen de x y se escribe f(x) (se lee “efe de x”).

·         En la situación 1, el valor h = 0 está asociado a  t = 4, que es un elemento perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen de 4 y se escribe h(4).

·         El conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza Im(f). observemos que la imagen está contenida en el codominio.

·         En la situación 1, la imagen de la función es el intervalo [0 ; 80]

Después de los estudiado hasta aquí...