TIPOS DE RELACIONES
Las
relaciones definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades ya
descriptas, expuestas en clases anteriores
Las
relaciones más usuales en matemática son:
Las
relaciones de equivalencia
Las
relaciones de orden
Las relaciones
funcionales o aplicaciones.
Relaciones
funcionales
Definición: Una relación f entre elementos de un
conjunto A y elementos de un conjunto B es una función o aplicación de A en B
si y sólo si, verifica las siguientes condiciones:
1º) Condición
de Existencia:
2º) Condición
de Unicidad:
Las
Funciones
Las funciones son una herramienta útil
para describir, analizar e interpretar situaciones provenientes de la
Matemática misma y de otras ciencias
Preguntas
Frecuentes
Las preguntas que podríamos hacernos al
abordar este concepto podrían ser, entre otras, las siguientes:
·
¿Qué tipos de funciones son las más
usuales?
·
¿Para qué valores de la variable
independiente resulta que la variable dependiente va creciendo o
decreciendo...?
·
¿Cómo es el crecimiento de la función
rápido, lento, ...? ¿Cómo
medir el crecimiento’
·
¿Qué representación se les puede dar para
hacernos una mejor idea de sus características y de su significado?
Veamos
algunos casos y sus diferentes representaciones
Representación
algebraica
La física ha
adoptado de la matemática un modelo que se adapte para describir la caída libre
de los cuerpos a través de la fórmula:
h(t) = h0
+ v0 . t – ½ g t2
Donde h0 y v0 son parámetros: el primero
representa la altura desde donde es lanzado un cuerpo, y el segundo, la
velocidad con la que el cuerpo es arrojado; g es una constante que representa
la aceleración de la gravedad
Representación
gráfica
Representación
algorítmica
Se
trata, entonces, de encontrar una fórmula que permita calcular para cada valor
de t, el único valor de h que le corresponde.
Si
h0 = 80m ; v0 = 0,
porque la piedra se deja caer a partir del reposo, y ½ . g » 5
⇒
la expresión algebraica buscada será:
h(t) = 80 – 5 . t2
Relaciones
entre variables
Para
describir una relación entre dos variables x e y, utilizando una función, es
necesario encontrar una ley que asigne a cada valor de x ( variable
independiente), un único valor de y (variable dependiente).
En
la situación de caída libre -de la piedra- t es la variable
independiente, h es la variable dependiente, y la fórmula h(t) = 80 –
5t2 es la ley o propiedad que asigna a cada valor de t un
único valor de h.
Más
definiciones
Una
función f queda determinada por:
·
Un conjunto A llamado dominio.
·
Un conjunto B llamado codominio.
·
Una ley que asocia a cada elemento x del
conjunto A un único elemento de B.
Veamos esto gráficamente: Dominio y
codominio
 |
Análisis de los conceptos
Esta
definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos o no
numéricos, y abarca tanto la ley de correspondencia como los conjuntos en los
que toman sus valores las variables.
De
acuerdo con esta definición, dos funciones son iguales si coinciden su dominio,
su codominio y la ley de correspondencia que relaciona los elementos de ambos
conjuntos
El
Dominio
El
dominio de una función es el conjunto formado por todos los valores que toma la
variable independiente x y se simboliza Dom(f)
En
la situación 1, de la piedra, el dominio de la función es el intervalo [0 ; 4]
El
Codominio
El
codominio de una función f es un conjunto que contiene a todos los valores que
puede tomar la función.
Las
funciones estudiadas, en este curso, tendrán como dominio al conjunto de los
números R o a un subconjunto del mismo, y
como codominio igual a R.
Imagen
de una función
·
Cada elemento y está asociado a un
elemento x del dominio de f, se llama imagen de x y se escribe f(x) (se lee
“efe de x”).
·
En la situación 1, el valor h = 0 está
asociado a t = 4, que es un elemento
perteneciente al dominio de la función; 0 es la imagen de 4 y se escribe h(4).
·
El conjunto formado por todas las
imágenes de los elementos del dominio de f se llama imagen de f y se simboliza
Im(f). observemos que la imagen está contenida en el codominio.
·
En la situación 1, la imagen de la
función es el intervalo [0 ; 80]
Después de los estudiado hasta aquí...
